Loi binomiale : calculs de probabilités

TerminaleMathématiquesProbabilitésDurée conseillée : 55 min5 exercices corrigés

Exercices corrigés de Terminale (spécialité mathématiques) sur la loi binomiale : reconnaître un schéma de Bernoulli, calculer P(X = k), P(X ≥ 1), espérance et variance.

L’essentiel à retenir

On répète $n$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (succès de probabilité $p$ ). Le nombre de succès $X$ suit la loi binomiale $B (n; p)$ .
$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ pour $k \in {0, 1, \dots, n}$ .
$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (1 - p)^{n}$ .
Espérance $E (X) = n p$ ; variance $V (X) = n p (1 - p)$ .

Exercice 1

Reconnaître une loi binomiale

Pour commencer

On lance 5 fois un dé équilibré à six faces et on compte le nombre de 6 obtenus. Justifie que $X$ suit une loi binomiale et donne ses paramètres.

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Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli : succès « obtenir 6 », de probabilité $\frac{1}{6}$ . Les 5 lancers sont identiques et indépendants.

$X$ , le nombre de succès, suit la loi binomiale $B (5; \frac{1}{6})$ .

Exercice 2

Coefficients binomiaux

Pour commencer

Calcule : a) $(2 5)$ b) $(0 6)$ c) $(4 4)$ d) $(1 7)$

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a) $(2 5) = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ b) $1$ c) $1$ d) $7$

Exercice 3

Calculer des probabilités

Pour s’entraîner

$X$ suit la loi $B (4; 0, 3)$ . Calcule $P (X = 2)$ , $P (X = 0)$ et $P (X \geq 1)$ . Arrondis à $1 0^{- 4}$ .

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$P (X = 2) = (2 4) \times 0, 3^{2} \times 0, 7^{2} = 6 \times 0, 09 \times 0, 49 = 0, 2646$ .

$P (X = 0) = 0, 7^{4} = 0, 2401$ .

$P (X \geq 1) = 1 - 0, 2401 = 0, 7599$ .

Exercice 4

Espérance et variance

Pour s’entraîner

Un QCM comporte 20 questions avec 4 réponses possibles dont une seule juste. Un élève répond au hasard à chaque question. On note $X$ le nombre de bonnes réponses.

Donne la loi de $X$ , son espérance et sa variance. Interprète l’espérance.

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$X$ suit $B (20; 0, 25)$ .

$E (X) = 20 \times 0, 25 = 5$ ; $V (X) = 20 \times 0, 25 \times 0, 75 = 3, 75$ .

En moyenne, en répondant au hasard, on obtient 5 bonnes réponses sur 20.

Exercice 5

Combien de répétitions ?

Pour aller plus loin

Un joueur de basket marque un lancer franc avec une probabilité de 0,8. Les lancers sont supposés indépendants.

Combien de lancers doit-il tenter au minimum pour que la probabilité d’en rater au moins un dépasse 0,99 ?

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Soit $Y$ le nombre de lancers ratés sur $n$ : $Y$ suit $B (n; 0, 2)$ . $P (Y \geq 1) = 1 - 0, 8^{n}$ .

$1 - 0, 8^{n} > 0, 99 ⟺ 0, 8^{n} < 0, 01 ⟺ n ln 0, 8 < ln 0, 01 ⟺ n > \frac{ln 0 , 01}{ln 0 , 8}$ (on divise par $ln 0, 8 < 0$ , le sens change).

$\frac{ln 0 , 01}{ln 0 , 8} \approx 20, 6$ , donc il faut au moins 21 lancers.

Vérification : $0, 8^{20} \approx 0, 0115$ et $0, 8^{21} \approx 0, 0092$ .