La fonction exponentielle

TerminaleMathématiquesFonction exponentielleDurée conseillée : 60 min5 exercices corrigés

Exercices corrigés de Terminale sur la fonction exponentielle : propriétés, équations, inéquations, dérivée de e^u et étude de fonction.

L’essentiel à retenir

Pour tous réels $a$ et $b$ : $e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ , $e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}$ , $(e^{a})^{n} = e^{na}$ , et $e^{x} > 0$ .
$e^{a} = e^{b} ⟺ a = b$ et $e^{a} < e^{b} ⟺ a < b$ .
$(e^{x})^{'} = e^{x}$ et, pour une fonction $u$ dérivable, $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ .
Limites : $lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ , $lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ .

Exercice 1

Simplifier

Pour commencer

Écris sous la forme $e^{k}$ : a) $e^{3} \times e^{- 5}$ b) $\frac{e ^{7}}{e ^{2}}$ c) $(e^{- 2})^{3}$ d) $\frac{e ^{x + 1}}{e ^{x - 1}}$

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a) $e^{- 2}$ b) $e^{5}$ c) $e^{- 6}$ d) $e^{(x + 1) - (x - 1)} = e^{2}$

Exercice 2

Équations

Pour s’entraîner

Résous dans $R$ : a) $e^{2 x - 1} = e^{x + 3}$ b) $e^{x^{2}} = e^{4}$ c) $e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$ (pose $X = e^{x}$ )

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a) $2 x - 1 = x + 3 ⟺ x = 4$ .

b) $x^{2} = 4 ⟺ x = - 2$ ou $x = 2$ .

c) $X^{2} - 3 X + 2 = 0$ : $Δ = 1$ , $X = 1$ ou $X = 2$ . $e^{x} = 1 ⟺ x = 0$ ; $e^{x} = 2 ⟺ x = ln 2$ . $S = {0; ln 2}$ .

Exercice 3

Inéquation

Pour s’entraîner

Résous $e^{3 x + 2} \leq e^{- x}$ .

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La fonction exponentielle est strictement croissante : $3 x + 2 \leq - x ⟺ 4 x \leq - 2 ⟺ x \leq - \frac{1}{2}$ .

$S =] - \infty; - \frac{1}{2}]$ .

Exercice 4

Dériver

Pour s’entraîner

a) $f (x) = e^{- 3 x}$ b) $g (x) = e^{x^{2} + 1}$ c) $h (x) = x e^{x}$

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a) $f^{'} (x) = - 3 e^{- 3 x}$

b) $g^{'} (x) = 2 x e^{x^{2} + 1}$

c) Produit : $h^{'} (x) = 1 \times e^{x} + x \times e^{x} = (x + 1) e^{x}$

Exercice 5

Étude de fonction

Pour aller plus loin

Soit $f (x) = (2 - x) e^{x}$ définie sur $R$ .

1) Montre que $f^{'} (x) = (1 - x) e^{x}$ .

2) Dresse le tableau de variations de $f$ et donne son maximum.

3) Résous $f (x) > 0$ .

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1) $f^{'} (x) = - 1 \times e^{x} + (2 - x) e^{x} = (1 - x) e^{x}$ .

2) $e^{x} > 0$ , donc $f^{'} (x)$ a le signe de $1 - x$ : positive pour $x < 1$ , négative pour $x > 1$ . $f$ est croissante sur $] - \infty; 1]$ puis décroissante sur $[1; + \infty [$ . Maximum : $f (1) = (2 - 1) e = e \approx 2, 72$ .

3) $e^{x} > 0$ , donc $f (x) > 0 ⟺ 2 - x > 0 ⟺ x < 2$ . $S =] - \infty; 2 [$ .