Dérivation : nombre dérivé, tangente et variations

PremièreMathématiquesDérivationDurée conseillée : 55 min5 exercices corrigés

Exercices corrigés de Première (spécialité mathématiques) : taux de variation, nombre dérivé, équation de tangente, dérivées usuelles et tableau de variations.

L’essentiel à retenir

Le nombre dérivé $f^{'} (a)$ est la limite, quand $h$ tend vers 0, du taux de variation $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ .
Tangente en $a$ : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .
Dérivées usuelles : $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ ; $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ ; $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ ; $(k u)^{'} = k u^{'}$ ; $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ .
Si $f^{'} > 0$ sur un intervalle, $f$ y est croissante ; si $f^{'} < 0$ , décroissante.

Exercice 1

Taux de variation

Pour commencer

Soit $f (x) = x^{2}$ . Calcule le taux de variation de $f$ entre 3 et $3 + h$ ( $h \neq = 0$ ), puis déduis-en $f^{'} (3)$ .

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$\frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h} = \frac{9 + 6 h + h ^{2} - 9}{h} = \frac{6 h + h ^{2}}{h} = 6 + h$ .

Quand $h$ tend vers 0, $6 + h$ tend vers 6, donc $f^{'} (3) = 6$ .

Exercice 2

Calculer des dérivées

Pour commencer

a) $f (x) = 4 x^{3} - 2 x + 7$ b) $g (x) = x^{2} + \frac{3}{x}$ ( $x \neq = 0$ ) c) $h (x) = 5 x$ ( $x > 0$ )

Voir le corrigé

a) $f^{'} (x) = 12 x^{2} - 2$

b) $g^{'} (x) = 2 x - \frac{3}{x ^{2}}$

c) $h^{'} (x) = \frac{5}{2 x}$

Exercice 3

Équation de tangente

Pour s’entraîner

Soit $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ . Détermine l’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse 3.

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$f (3) = 9 - 12 + 1 = - 2$ et $f^{'} (x) = 2 x - 4$ , donc $f^{'} (3) = 2$ .

$y = 2 (x - 3) - 2$ , soit $y = 2 x - 8$ .

Exercice 4

Tableau de variations

Pour s’entraîner

Étudie les variations de $f (x) = x^{3} - 3 x$ sur $R$ .

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$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ .

$f^{'} (x)$ s’annule en $- 1$ et $1$ ; elle est positive à l’extérieur et négative entre les deux.

$x$	$- \infty$		$- 1$		$1$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$		croissante	$2$	décroissante	$- 2$	croissante

$f (- 1) = - 1 + 3 = 2$ (maximum local) et $f (1) = 1 - 3 = - 2$ (minimum local).

Exercice 5

Problème : le coût de production

Pour aller plus loin

Une entreprise fabrique $x$ objets par jour, avec $x \in [0; 50]$ . Le bénéfice, en euros, est $B (x) = - 2 x^{2} + 120 x - 1000$ .

1) Calcule $B^{'} (x)$ et étudie son signe.

2) Combien d’objets faut-il fabriquer pour un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice ?

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1) $B^{'} (x) = - 4 x + 120$ . $B^{'} (x) > 0 ⟺ x < 30$ : $B^{'}$ est positive sur $[0; 30 [$ , nulle en 30, négative sur $] 30; 50]$ .

2) $B$ est croissante puis décroissante : le maximum est atteint en $x = 30$ .

$B (30) = - 2 \times 900 + 3600 - 1000 = 800$ . Il faut fabriquer 30 objets, pour un bénéfice de 800 €.