Calculer avec les puissances

4eMathématiquesPuissancesDurée conseillée : 45 min5 exercices corrigés

Exercices corrigés de 4e sur les puissances : définition, puissances de 10, règles de calcul et écriture scientifique.

L’essentiel à retenir

Pour $n$ entier positif : $a^{n} = a \times a \times \dots \times a$ ( $n$ facteurs). Par convention $a^{0} = 1$ et $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ (pour $a \neq = 0$ ).
Puissances de 10 : $1 0^{3} = 1000$ et $1 0^{- 3} = 0, 001$ .
Règles : $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ ; $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ ; $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ .
Écriture scientifique : $a \times 1 0^{n}$ avec $1 \leq a < 10$ .

Exercice 1

Pour commencer

a) $3^{4}$ b) $(- 2)^{3}$ c) $(- 2)^{4}$ d) $- 2^{4}$ e) $5^{0}$ f) $2^{- 3}$

Voir le corrigé

a) $3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

b) $(- 2)^{3} = - 8$ (nombre impair de facteurs négatifs)

c) $(- 2)^{4} = 16$ (nombre pair de facteurs négatifs)

d) $- 2^{4} = - (2^{4}) = - 16$ : l’exposant ne porte que sur 2.

e) $5^{0} = 1$ f) $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8} = 0, 125$

Exercice 2

Pour commencer

Écris sous forme décimale : a) $1 0^{5}$ b) $1 0^{- 2}$ c) $4, 7 \times 1 0^{3}$ d) $6 \times 1 0^{- 4}$

Voir le corrigé

a) $100000$ b) $0, 01$ c) $4700$ d) $0, 0006$

Exercice 3

Pour s’entraîner

Écris sous la forme d’une seule puissance.

a) $7^{3} \times 7^{5}$ b) $\frac{1 0 ^{8}}{1 0 ^{3}}$ c) $(2^{3})^{4}$ d) $1 0^{- 2} \times 1 0^{6}$ e) $\frac{5 ^{2}}{5 ^{6}}$

Voir le corrigé

a) $7^{3 + 5} = 7^{8}$ b) $1 0^{8 - 3} = 1 0^{5}$ c) $2^{3 \times 4} = 2^{12}$ d) $1 0^{- 2 + 6} = 1 0^{4}$ e) $5^{2 - 6} = 5^{- 4}$

Exercice 4

Pour s’entraîner

Donne l’écriture scientifique de : a) $52000$ b) $0, 0038$ c) $345 \times 1 0^{4}$ d) $0, 02 \times 1 0^{- 3}$

Voir le corrigé

a) $5, 2 \times 1 0^{4}$

b) $3, 8 \times 1 0^{- 3}$

c) $345 = 3, 45 \times 1 0^{2}$ , donc $3, 45 \times 1 0^{2 + 4} = 3, 45 \times 1 0^{6}$

d) $0, 02 = 2 \times 1 0^{- 2}$ , donc $2 \times 1 0^{- 2 - 3} = 2 \times 1 0^{- 5}$

Exercice 5

Pour aller plus loin

La lumière parcourt environ $3 \times 1 0^{5}$ km par seconde. La distance Terre-Soleil est d’environ $1, 5 \times 1 0^{8}$ km.

Combien de temps la lumière du Soleil met-elle pour arriver sur Terre ? Donne la réponse en secondes, puis en minutes et secondes.

Voir le corrigé

Temps = distance ÷ vitesse : $\frac{1 , 5 \times 1 0 ^{8}}{3 \times 1 0 ^{5}} = \frac{1 , 5}{3} \times 1 0^{8 - 5} = 0, 5 \times 1 0^{3} = 500$ s.

$500 = 8 \times 60 + 20$ , soit environ 8 min 20 s.